挑战高难度：高次多元不定方程(1)

zhshiling · 发表于 2008-8-25 17:34:09

1.求x^2 = y^8 + y^4 + y^2的整数解
2.求x^3 + y^8 =z^2的整数解

注：x^3表示x的三次方，其他的类同啊

[ 本帖最后由 zhshiling 于 2008-8-26 08:56 编辑 ]

lzk05_lzk0530 · 发表于 2008-8-25 18:15:30

lz自己会做这些题吗？

zhshiling · 发表于 2008-8-26 07:40:36

会一点点
这种题做起来真的需要太多的东西

icesheep · 发表于 2008-8-26 17:26:53

不可能求出所有的解的吧，倒是可以证明它有无数多个解~
随便给一组解吧，比如第二个，x = 177147 y = 81 z = 86093442

mmyyxx · 发表于 2008-8-26 17:34:30

可以编程序做

icesheep · 发表于 2008-8-26 17:40:01

编程做也只是搜寻有限的范围内的解,而且我已经说了可以证明方程是有无数解的.
但是只能解出这无数解中其中的一类解~

zhshiling · 发表于 2008-8-27 07:52:16

哪怕方程的解是无数个
也应该是通过一个或几个表达式把解的特征完整的表现出来

这种题目有一个大众化的思路
对于第二题
.求x^3 + y^8 =z^2的整数解

方程变形为

x^3 = (z+y^4)(z-y^4)
通过数的整除进行讨论（对于这道题来说这样做好像比较麻烦）
关于数的整除可以参看本板块基础知识的相关内容

[ 本帖最后由 zhshiling 于 2008-8-27 08:33 编辑 ]

icesheep · 发表于 2008-8-27 10:24:39

(a,b)=1,存在整数k,m使得ka-mb=1
用这个就能证明方程至少有1组解。

再证明方程有一组解就有无数组解。

zhshiling · 发表于 2008-8-27 11:00:03

哥哥啊
看好了那个可是高次方程啊

icesheep · 发表于 2008-8-27 11:05:41

呵呵，想法没问题，这题本来就是证明题，证明有无数组正整数解，不可能出成解方程得，因为你不能得到所有的解~

zhshiling · 发表于 2008-8-27 11:31:23

为了和楼上的赌气

我得出了第二题的一部分解

x = pq ，
y^4 = pq(p-q)/2,
z=pq(p+q)/2
p和q都是整数

此时只需要解出
y^4 = pq(p-q)/2整数解就可以了啊

不过绕了个圈子
还是要说这个题目有无数解啊

也有可能就要得到一个全新的定理了啊
有兴趣的和我联系啊

[ 本帖最后由 zhshiling 于 2008-8-27 13:14 编辑 ]

icesheep · 发表于 2008-8-27 15:10:02

赌气？

以下是有一个解就有无数解的证明

游客，如果您要查看本帖隐藏内容请回复

icesheep · 发表于 2008-8-27 15:56:32

你在短消息中说你说你解决了?是指你能求出所有的根?愿闻其详?

zhshiling · 发表于 2008-8-29 08:30:57

令a>b
1)
y = ab(2a-b),
p=2ay = 2a^2b(2a-b)
q=by=ab^2(2a-b)
2)
3)
4)
请读者自行补充啊

[ 本帖最后由 zhshiling 于 2008-8-29 08:34 编辑 ]

zhshiling · 发表于 2008-8-29 08:45:28

这些结论可能都是错误
谁能看出为什么啊

[ 本帖最后由 zhshiling 于 2008-8-29 08:53 编辑 ]

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关于2y^4=pq(p-q)的解

这里存在一个极大的谎言