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[已解决] 一道不等式

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楼主
发表于 2008-8-29 23:57:09 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
对正数X,Y,Z,M,N,X+Y+Z+M+N=50,求(X+1/X)*(Y+1/Y)*(Z+1/Z)*(M+1/M)*(N+1/N)的最小值
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沙发
发表于 2008-8-30 15:56:45 | 只看该作者
令W=ln((X+1/X)*(Y+1/Y)*(Z+1/Z)*(M+1/M)*(N+1/N))=ln(x+1/x)+ln(y+1/y)+ln(z+1/z)+ln(m+1/m)+ln(n+1/n)
要求原式最小值,只需求W的最小值。
易证
f(x)=ln(x+1/x)在(0, Sqrt[2 + Sqrt[5]]]下凸,在[Sqrt[2 + Sqrt[5]], +无穷)上凸。
于是由半凹半凸,可知取最小值时至少四元相等,且此四元必在下凸区间中。
于是设
g(x)=4f(x)+f(50-4x),0<x<Sqrt[2 + Sqrt[5]],
则g(x)的最小值就是W的最小值。
……
暂时没办法求g(x)的最小值,太复杂了。
要解高次方程。
……………………
哎,楼主那个50是不是随便给的啊,太大了,导致又凹又凸,不能直接用琴生……
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