一道解方程组题目的多解性

lzk05_lzk0530

证明:三元方程x^2 + y^3 = z^4
有无穷个正整数解.
解法一：由试验观察得出一个解
x = 28 , y = 8 , z = 6.
于是,28^2 + 8^3 = 6^4 . ①
取2、3、4 的最小公倍数12 ,对式①两边乘以
k^12m (其中k 为正整数,m 为非负整数) ,有
(28 ×k^6m ) ^2 + (8 ×k^4m ) ^3 = (6 ×k^3m ) ^4 .
这表明x = 28 k^6m , y = 8 k^4m , z = 6 k^3m 是原方程
的正整数解. 由k 、m 的任意性知,方程有无穷个正整数解.
请大家积极探讨其他的解法。

[ 本帖最后由 lzk05_lzk0530 于 2008-3-29 10:04 编辑 ]

castelu

这种系数的代入很巧妙

巫师无视

楼主是不是太复杂了　　
设x=t^4     y=t^3     那么有t^8+t^9=z^4     t+1=(z/t^2)^4       显然有无穷个解