又没人发题了,我来吧

战巡 · 发表于 2008-3-23 21:01:07

$\\displaystyle b_n=a_n-a_{n+1}$
$\\displaystyle \\frac{2}{n}a_n+b_n+1=0$
(1)求证{bn}为等差数列
(2)若 $\\displaystyle b_2=b_1-2$
证明 $\\displaystyle \\frac{1}{a_1}+\\frac{1}{a_2}+....+\\frac{1}{a_n}<\\frac{5}{3}$

castelu · 发表于 2008-3-23 21:48:11

a_n 前面的系数是2/n ?

castelu · 发表于 2008-3-23 21:59:39

(n+2)b_n=(n-1)b_n-1-1

只做到这步

战巡 · 发表于 2008-3-23 22:24:20

不对吧..............

浪尖的男孩 · 发表于 2008-3-24 03:49:08

(n+2)bn=(n+1)bn+1+1

浪尖的男孩 · 发表于 2008-3-24 04:04:29

(n+2)bn=(n+1)bn+1+1 è (n+2)bn=(n+1)bn+1+(n+2)-(n+1) è (n+2)(bn-1)=(n+1)(bn+1-1)然后就可以一直写下去消项，最后得到一个bn关于n的一次式说明bn是等差数列

浪尖的男孩 · 发表于 2008-3-24 04:16:22

第二问我觉得可以令b₁=1 然后得到a_n=a₁+（n-1）² 带入不等式左边然后将式子放大将分母的所有a₁抹去然后裂项放大就可以得到结论了

战巡 · 发表于 2008-3-24 20:27:28

原帖由 浪尖的男孩 于 2008-3-24 04:16 发表
第二问我觉得可以令b1=1 然后得到an=a1+（n-1）2 带入不等式左边然后将式子放大将分母的所有a1抹去然后裂项放大就可以得到结论了

.............
怎么可以直接令b1=1呢...........
其实根据条件是可以求出b1,bn和an的

浪尖的男孩 · 发表于 2008-3-25 00:58:04

哦还真是的呵呵忽略掉了都求出来就更好办了是吧

算术研究 · 发表于 2008-9-1 14:48:46

xjc03 · 发表于 2009-5-26 19:15:31

太简单...
1.先bn前n项和Sn
Sn=a1-a(n+1);
代入下式
2a1-2Sn-1+nbn+n=0
2a1-2Sn+(n+1)b(n+1)+n+1=0
故(n+2)bn-(n+1)b(n+1)-1=0
(n+3)n(n+1)-(n+2)b(n+2)-1=0
所以bn+b(n+2)=2b(n+1)

2.an=-n/2*(b1-2n+3)=n^2>n(n-1) b1=-3
so 1/a1+1/a2+...+1/an<2-1/n
当n>=2时成立 n=1 a1=1显然成立证毕

sunzhibin011 · 发表于 2009-5-27 12:29:23

晕这也简单

元蛟 · 发表于 2009-7-13 11:09:18

挺不错的呀

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