定积分恒等式证明题

castelu · 发表于 2009-1-15 18:51:10

定积分恒等式证明题

战巡 · 发表于 2009-1-17 22:24:31

..........上次那个题啊.
设
$\\displaystyle a=\\int_0^{\\pi}(xf(sinx)-\\frac{\\pi}{2}f(sinx))dx$
令 $\\displaystyle t=x-\\frac{\\pi}{2}$
得到
$\\displaystyle a=\\int_{-\\frac{\\pi}{2}}^{\\frac{\\pi}{2}}tf(cost)dt$
显然
$\\displaystyle tf(cost)$ 是奇函数
因此a=0
所以有
$\\displaystyle \\int_0^{\\pi}xf(sinx)dx=\\frac{\\pi}{2}\\int_0^{\\pi}f(sinx)dx$

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